A kvantumoptika és a kvantuminformáció egyik központi kérdése, hogy mely állapotok képesek megjeleníteni nemlokális korrelációkat passzív lineáris optikai kísérletek során, és melyek azok, amelyek lokálisan szimulálhatók. Ebben a cikkben részletesen bemutatjuk a témakör legfontosabb eredményeit, különös tekintettel az egyetlen módusú típusú állapotokra, valamint a fermionok és bozonok esetére vonatkozó bizonyításokat és modelleket.
A tétel átfogalmazása és alapfogalmak
Kényelmesebb a 1. tételt az ekvivalens kontrapozitív formában megfogalmazni. A 3. definíció alapján a következőképpen alakul:
1’ tétel: Egy (vert psi rangle) állapot lokálisan szimulálható minden passzív lineáris optikai kísérletben akkor és csak akkor, ha az egyetlen módusú típusú.
Ez ekvivalens a következő két állítással:
- Állítás 1 (Szükségesség): Az az állapot, amely nem mutat nemlokális korrelációkat semmilyen passzív lineáris optikai kísérletben, feltétlenül egyetlen módusú típusú.
- Állítás 2 (Elégségesség): Minden egyetlen módusú típusú állapot lokálisan szimulálható tetszőleges passzív lineáris optikai kísérletben.
A korábbi kutatások (pl. ref. 23) igazolták, hogy az egypartikulumos eset (N=1) igaz, hiszen ebben az esetben minden állapot egyetlen módusú típusú. A továbbiakban elsősorban a többpartikulumos esetet vizsgáljuk (N ≥ 2), először a fermionokra, majd a bozonokra fókuszálva.
Fermion eset: nemlétező többpartikulumos egyetlen módusú állapotok
A fermionok esetében a Pauli-kizárási elv miatt nem léteznek többpartikulumos egyetlen módusú típusú állapotok. Ezért elegendő minden fermion állapotra olyan kísérletet találni, amely nemlokális korrelációkat mutat ki.
Tekintsünk egy általános fermion állapotot az alábbi formában (Eq. 1), ahol minden (n_i = 0) vagy 1:
[
{psi}_{n_1 ldots n_M} neq 0 quad text{ahol} quad n_k = n_l = 1,
]
azaz létezik legalább egy olyan részmódusz-pár (k,l), amelyre ez igaz. Anélkül, hogy általánosságot veszítenénk, vegyük (k=1), (l=2), és jelöljük a többi index választását (tilde{n}_j)-vel (j ≥ 3). Így feltételezzük:
[
{psi}_{11tilde{n}_3 ldots tilde{n}_M} neq 0.
]
Kísérleti elrendezés és bizonyítás
A Fermion eset bizonyításához használjuk az alábbi esemény-készítő (event-ready) sémát (4. ábra). Ebben az elrendezésben a (vert 11rangle) állapotot az 1-es és 2-es módusokban úgy heraldáljuk, hogy a többi móduszban ((j=3,ldots,M)) detektáljuk a megfelelő (tilde{n}_j) részecskék jelenlétét.
A kísérlet végén a Yurke-Stoler tesztet hajtjuk végre az előkészített két részecskés állapoton, amely kimutatja a nemlokális korrelációkat (lásd 3. ábra és Lemma 1). Ez bizonyítja, hogy minden fermion többpartikulumos állapot nemlokális viselkedést mutat passzív lineáris optikai kísérletekben.
Bozon eset: komplexebb korrelációk és bizonyítási vázlat
A bozon statisztika lehetővé teszi sokkal változatosabb többpartikulumos állapotokat finomabb korrelációs hatásokkal, ezért a fermionokra alkalmazott egyszerű érvelés itt nem alkalmazható közvetlenül.
Egyetlen módusú típusú bozon állapotok koefficiensei
Kritikus megfigyelés, hogy az egyetlen módusú típusú bozon állapot koefficiensei mindig felírhatók szorzatformában:
[
{psi}_{n_1 ldots n_M} = binom{N}{vec{n}}^{1/2} prod_{i=1}^M U_i^{n_i},
]
ahol (U_1,ldots,U_M) komplex számok úgy normalizáltak, hogy (sum_{i=1}^M |U_i|^2 = 1). Ez multinomiális bővítésből következik (Definíció 1 és Eq. 3 alapján).
Állítás 1 bizonyításának vázlata bozonokra
A bizonyítás lényege olyan passzív lineáris optikai kísérletek vizsgálata, amelyek nem mutathatnak nemlokális korrelációkat. Ezekből következnek olyan feltételek a koefficiensekre, amelyek csak az egyetlen módusú típusra jellemzőek.
Több részecske & két módusz esete (N ≥ 2, M = 2)
Egy általános két-móduszú N-részecskés állapot:
[
|phirangle = sum_{n=0}^N beta_n frac{{a_1^dagger}^n}{sqrt{n!}} frac{{a_2^dagger}^{N-n}}{sqrt{(N-n)!}} |0rangle.
]
A bemeneti móduszokat felosztjuk segédmóduszokra (jelölve: (1′,1”) és (2′,2”)), majd poszt-szelekcióval kiválasztunk olyan eseményeket, ahol pontosan két részecske marad az eredeti két móduszban. Ezen előkészített állapoton hajtjuk végre a Yurke-Stoler tesztet.
A Lemma 1 alapján ezeknek az előkészített állapotoknak nem mutathatnak nemlokális korrelációkat csak akkor, ha a koefficiensekre teljesülnek az alábbi feltételek minden (s=0,ldots,N-2) értékre:
[
beta_{s+1}^2 = beta_s cdot beta_{s+2} cdot sqrt{frac{s+2}{s+1}},sqrt{frac{N-s}{N-s-1}}.
]
NOON-állapotok különleges esete
A NOON-állapotok formája:
[
|phirangle_{NOON} = left( beta_0 frac{{a_2^dagger}^N}{sqrt{N!}} + beta_N frac{{a_1^dagger}^N}{sqrt{N!}} right)|0rangle,
]
ahol köztes koefficiensek nullák ((beta_1 = … = beta_{N-1} = 0)). Ezek kielégítik fenti feltételeket, így önmagukban nem mutatnak nemlokalitást ezzel a módszerrel.
Ekkor azonban egy kvantum törléses elrendezést alkalmazunk (6. ábra), amely eltünteti azt az információt, hogy hány részecske van melyik segédmóduszban. Ez lehetővé teszi újabb teszteket, amelyek kimutatják, hogy minden valódi NOON-állapot Bell-nemlokális viselkedést mutat (azaz vagy (beta_0=0) vagy (beta_N=0) kell legyen ahhoz, hogy ne legyen nemlokalitás).
Lemma 2 összegzés
A fenti feltételek megoldása azt eredményezi, hogy
[
beta_n = binom{N}{n}^{1/2} U_1^n U_2^{N-n}
]valamilyen komplex (U_1,U_2) amplitúdákra teljesülnek úgy, hogy ( |U_1|^2 + |U_2|^2 = 1.)
Ez azt jelenti, hogy bármely olyan két-móduszú N-részecskés állapot,
amely nem mutat nemlokalitást ezen kísérleti elrendezésekben,
feltétlenül egyetlen módusú típusú.Így igazoltuk Állítás 1-et (M=2), (N≥2) esetén.
Több részecske & több módusz esete (N ≥ 2, M ≥ 2)
A legáltalánosabb esetet indukcióval kezeljük a móduszok számára vonatkozóan:
- Báziseset: Állítás 1 igaz (M=2)-re bármely (N≥2)-re (már bizonyított).
- Indukciós lépés: Ha Állítás 1 igaz (M-1)-re bármely (N≥2)-re,
akkor igaz lesz (M)-re is bármely (N≥2)-re.
A részletes indukciós lépések megtalálhatók a Kiegészítő Információban.
Állítás 2: Lokális rejtett változó modell felépítése bozonokra
Célunk egy általános lokális rejtett változó modellt alkotni, amely képes bármely passzív lineáris optikai kísérletet szimulálni egyetlen módusú típusú állapottal.
Alapelemek kvantummechanikai leírása
- Lézerelosztó (beam splitter): Egy egységmátrix méretű unitárius transzformációval írható le:
[
begin{pmatrix}
a_s^dagger \ a_t^dagger
end{pmatrix}
xrightarrow{mathbb{V}}
begin{pmatrix}
a_s^{‘dagger} \ a_t^{‘dagger}
end{pmatrix}
.] - Fáziseltoló (phase shifter): Egy adott úton fázist ad hozzá:
[
a_s^dagger to e^{ivarphi} a_s^dagger.
] - Móduszdetektor: Számolja az adott úton lévő részecskék számát; ezek végzik el végül a mérést.
Ezekből épülnek fel tetszőleges passzív lineáris optikai kísérletek.
A modell ontológiája és evolúciója
Minden helyi móduszt egy komplex amplitúdó ((alpha_i)) és egy egész szám ((k_i)) ír le — utóbbi jelzi az adott módban lévő részecskék számát. Az ontikus tér tehát:
[
Lambda := (mathbb{C} × ℕ)^M = ℂ^M × ℕ^M,
]
ahol minden elem:
[
λ ≡ (vec{alpha},, vec{k}) ∈ Λ.
]
A lézerelosztó helyi működése:
[
(alpha_s,alpha_t) → (alpha_s’, α_t’) := (alpha_s,alpha_t)mathbb{V},
]
míg a részecskék száma multinomiális eloszlással oszlik meg:
[
P(k_s’, k_t’) =
binom{k}{k_s’, k_t’}
dfrac{|alpha_s’|^{2k_s’} |alpha_t’|^{2k_t’}}{left(|α_s’|^2 + |α_t’|^2right)^k},
]
where (k := k_s + k_t = k_s’ + k_t’).
A fáziseltoló helyileg determinisztikus:
[
α_s → α_s’ = e^{iφ} α_s,quad k_s → k_s’ = k_s.
]
A detektor egyszerűen kiolvassa:
[
(α_s,k_s) → k_s.
]
Episztémikus állapot definíciója és viselkedése
A modellhez hozzárendeljük az episztémikus eloszlást:
[
μ_ψ(λ) := μ_ψ(vec{alpha},, vec{k}) :=
dfrac{1}{2π} δ_{vec{alpha} ∼ {vec{alpha}}_ψ}
,
binom{N}{vec{k}}
∏_{i=1}^M |α_i|^{2k_i},
]
Ahol (δ_{vec{alpha} ∼ {vec{alpha}}_ψ}) Dirac-delta függvényként működik: értéke 1 ha
[
∃ φ ∈ [0, 2π):,
{vec{alpha}} = e^{iφ} {vec{alpha}}_ψ,
]
különben nulla.
Ezzel definiált episztémikus halmaz zárt marad az evolúció alatt — ezt nevezzük equivarianciának.
Lemma szerint ez pontosan rekonstruálja a kvantummechanikai evolúciót és mérési statisztikákat.
Záró gondolatok és összegzés
A fentiek alapján bebizonyítottuk,a passzív lineáris optikai rendszerekben lokálisan szimulálható kvantumállapotok pontosan azok az egyetlen módusú típusba tartozó állapotok.
Ezzel párhuzamosan felépítettünk egy általános lokális rejtett változó modellt is erre az osztályra vonatkozóan — amely képes reprodukálni bármely ilyen állapotra vonatkozó kvantummechanikai mérési eredményt tetszőleges passzív lineáris optikai környezetben.
A modell ontológiája hasonlít ugyan a de Broglie-Bohm pilot hullám elmélethez — azonban míg utóbbi non-lokális mechanizmusokat használ, addig itt kizárólag lokális interakciókra építünk.
Irodalomjegyzék kivonata
- [23] Korábbi tanulmány igazolja egypartikulumos esetet.
- [27] Passzív lineáris optika alapjai és egységes leírása.
- [33] D-separáció szabályai kauzális diagramokon belül.
- [49] Multinomiális bővítés alkalmazása kvantumállapotokra.
- [50] Kvantum törléses interferencia példái fotonokon.
- [51] Esemény-kész poszt-szelekció használata non-lokalitás vizsgálatokban.
- [52] De Broglie-Bohm pilot wave elmélet ismertetése.
Kulcsszavak:
kvantumoptika, passzív lineáris optika, lokális rejtett változó modell, bozonok, fermionok, egyetlen módusú típusú állapotok, Yurke-Stoler teszt, kvantum non-lokalitás
